现代物理学
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
r
,
t
)
=
H
^
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)}}
1
c
2
∂
2
ϕ
n
∂
t
2
−
∇
2
ϕ
n
+
(
m
c
ℏ
)
2
ϕ
n
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}{\phi }_{n}}{{\partial t}^{2}}}-{{\nabla }^{2}{\phi }_{n}}+{\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)}^{2}{\phi }_{n}=0}
时空拓扑（英语：Spacetime topology）：薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程
历史
奠基者马克斯·普朗克 · 阿尔伯特·爱因斯坦 · 尼尔斯·玻尔 · 马克斯·玻恩 · 维尔纳·海森堡 · 埃尔温·薛定谔 · 路易·德布罗意 · 萨特延德拉·纳特·玻色 · 沃尔夫冈·泡利 · 保罗·狄拉克
相关概念空间 · 时间 · 能量 · 物质 · 功 随机性 · 信息 · 熵 · 心灵 光 · 粒子 · 波 · 空穴子
分支应用物理学 · 实验物理学 · 理论物理学 科学哲学 · 物理哲学 数理逻辑 · 数学物理学 超对称性 · 弦论 · M理论 大统一理论 · 标准模型 量子力学 · 量子场论 反粒子 · 反物质 电磁学 · 量子电动力学 弱相互作用 · 电弱相互作用 强相互作用 · 量子色动力学 粒子物理学 · 核物理学 奇異物質 · 希格斯玻色子 原子-分子-光物理学 凝聚体物理学 量子统计力学 量子信息 · 量子计算 自旋电子学 · 超导 非线性动力学 · 光子学 · 生物物理学 神经物理学 · 量子心灵 等离子体 · 中微子天文学 狭义相对论 · 广义相对论 尺度相关性（英语：Scale relativity） · 时空对称性（英语：Spacetime symmetries） 暗物质 · 暗能量 分形分析（英语：Fractal analysis） · 量子混沌（英语：Quantum chaos） 涌现 · 复杂系统 黑洞 · 全息原理 天体物理学 · 可观测宇宙 大爆炸 · 宇宙学 引力 · 圈量子引力论 量子引力 · 万有理论 数学宇宙假说 · 多重宇宙
相关研究者威廉·伦琴 · 亨利·贝可勒尔 · 亨德里克·洛伦兹 · 马克斯·普朗克 · 皮埃尔·居里 · 威廉·维恩 · 玛丽·居里 · 阿诺·索末菲 · 欧内斯特·卢瑟福 · 弗雷德里克·索迪 · 海克·卡末林·昂内斯 · 阿尔伯特·爱因斯坦 · 弗朗克·韦尔切克 · 马克斯·玻恩 · 赫尔曼·外尔 · 尼尔斯·玻尔 · 埃尔温·薛定谔 · 路易·德布罗意 · 马克斯·冯·劳厄 · 萨特延德拉·纳特·玻色 · 阿瑟·康普顿 · 沃尔夫冈·泡利 · 欧内斯特·沃尔顿 · 恩里科·费米 · 约翰内斯·范德瓦耳斯 · 维尔纳·海森堡 · 弗里曼·戴森 · 彼得·塞曼 · 亨利·莫塞莱 · 大卫·希尔伯特 · 库尔特·哥德尔 · 帕斯库尔·约当 · 保罗·狄拉克 · 尤金·维格纳 · 斯蒂芬·霍金 · 菲利普·安德森 · 乔治·勒梅特 · 乔治·汤姆孙 · 亨利·庞加莱 · 约翰·惠勒 · 罗杰·彭罗斯 · 罗伯特·密立根 · 南部阳一郎 · 约翰·冯·诺伊曼 · 彼得·希格斯 · 奥托·哈恩 · 理查德·费曼 · 李政道 · 菲利普·莱纳德 · 阿卜杜勒·萨拉姆 · 杰拉德·特·胡夫特 · 约翰·贝尔 · 默里·盖尔曼 · 约瑟夫·汤姆孙 · 钱德拉塞卡拉·拉曼 · 威廉·劳伦斯·布拉格 · 约翰·巴丁 · 威廉·肖克利 · 詹姆斯·查德威克 · 欧内斯特·劳伦斯 · 安东·蔡林格
查论编
系列条目量子力学
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
=
H
^
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }
薛定谔方程
入门
术语（英语：Glossary of elementary quantum mechanics）
历史
背景
经典力学
舊量子論
狄拉克符号
哈密顿算符
干涉
基本原理
互补
退相干
纠缠
能级
测量
非局域性（英语：Quantum nonlocality）
量子数
量子態
态叠加原理
对称性（英语：Symmetry in quantum mechanics）
量子穿隧效應
不确定性
波函数
波函数坍缩
实验
貝爾定理的實驗驗證
戴維森-革末實驗
雙縫實驗
伊利澤-威德曼炸彈測試問題
法蘭克-赫茲實驗
Leggett-Garg不平等现象（英语：Leggett–Garg inequality）
馬赫-曾德爾干涉儀
波普尔实验
量子擦除實驗
延遲選擇
薛定谔猫
施特恩-格拉赫实验
惠勒延迟选择实验
表述
概览
海森堡繪景
相互作用繪景
矩陣力學
相空间表述
薛丁格繪景
路徑積分表述
方程
狄拉克方程式
克莱因-戈尔登方程
包立方程式
里德伯公式
薛定谔方程
诠释
概览
量子贝叶斯主义（英语：Quantum Bayesianism）
一致性历史
哥本哈根詮釋
德布罗意-玻姆理论
系綜詮釋
隱變量理論
局部隐变量（英语：Local hidden-variable theory）
多世界诠释
客觀坍縮理論
量子逻辑（英语：Quantum logic）
關係性量子力學
交易詮釋
高阶
相对论量子力学
量子场论
量子信息科学
量子计算
量子混沌（英语：Quantum chaos）
密度矩陣
散射理论（英语：Scattering theory）
量子统计力学
量子機器學習
科学家
阿哈罗诺夫
貝爾
贝特
布莱克特
布洛赫
玻姆
玻尔
玻恩
玻色
德布罗意
康普顿
狄拉克
戴维孙
德拜
埃伦费斯特
爱因斯坦
艾弗雷特三世
福克
费米
費曼
格劳伯
古茨威勒
海森堡
希尔伯特
约尔旦
克喇末
泡利
兰姆
朗道
劳厄
莫塞莱
密立根
昂內斯
普朗克
拉比
拉曼
里德伯
薛定谔
米歇尔·西蒙斯（英语：Michelle Simmons）
索末菲
冯·诺伊曼
外尔
维恩
维格纳
塞曼
蔡林格
查论编
量子统计力学是应用于量子力学系统的统计力学。量子力学中，统计系综（可能量子态的概率分布）由密度算子S描述，其是描述量子系统的希尔伯特空间H上的迹为1的非负自伴迹类算子。这可以用量子力学的数学表述来证明，其中一种形式来自量子逻辑。
期望[编辑]
经典概率论中，随机变量X的期望值由其概率分布
D
X
{\displaystyle D_{X}}
定义：
E
(
X
)
=
∫
R
d
λ
D
X
(
λ
)
{\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \operatorname {D} _{X}(\lambda )}
假定随机变量可积或非负。同样，令A是量子力学系统的可观察量，由稠密定义在H上的自伴算子给出，则其谱测度的定义为
E
A
(
U
)
=
∫
U
d
λ
E
(
λ
)
,
{\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}d\lambda \operatorname {E} (\lambda ),}
这唯一确定了A，反之亦然：
E
A
{\displaystyle \operatorname {E} _{A}}
也由A唯一确定。
E
A
{\displaystyle \operatorname {E} _{A}}
是从R的博雷尔子集到H的自伴射影格Q的布尔同态。与概率论类似，给定态S，我们引入A在S下的分布，其是R的博雷尔子集上定义的概率测度：
D
A
(
U
)
=
Tr
(
E
A
(
U
)
S
)
.
{\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}
同样，由概率分布
D
A
{\displaystyle \operatorname {D} _{A}}
，A的期望定义如下：
E
(
A
)
=
∫
R
d
λ
D
A
(
λ
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} (A)=\int _{\mathbb {R} }d\lambda \,\operatorname {D} _{A}(\lambda ).}
注意这期望是对混合态S而言，用于
D
A
{\displaystyle \operatorname {D} _{A}}
的定义。
备注. 出于技术原因，需要分别考虑无界算子的博雷尔泛函微积分所定义的A的正负部。
很容易证明：
E
(
A
)
=
Tr
(
A
S
)
=
Tr
(
S
A
)
.
{\displaystyle \mathbb {E} (A)=\operatorname {Tr} (AS)=\operatorname {Tr} (SA).}
注意，若S是对应于向量
ψ
{\displaystyle \psi }
的纯态，则：
E
(
A
)
=
⟨
ψ
|
A
|
ψ
⟩
.
{\displaystyle \mathbb {E} (A)=\langle \psi |A|\psi \rangle .}
算符A的迹可写作：
Tr
(
A
)
=
∑
m
⟨
m
|
A
|
m
⟩
.
{\displaystyle \operatorname {Tr} (A)=\sum _{m}\langle m|A|m\rangle .}
冯诺依曼熵[编辑]
主条目：冯诺依曼熵
在描述态的随机性时，S的冯诺依曼熵具有特别重要的意义，其正式定义是
H
(
S
)
=
−
Tr
(
S
log
2
S
)
{\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\operatorname {Tr} (S\log _{2}S)}
.
实际上，算子
S
log
2
S
{\displaystyle S\log _{2}S}
不一定是迹类算子；若S是非负自伴非迹类算子，则定义
T
r
(
S
)
=
+
∞
{\displaystyle {\rm {Tr}}(S)=+\infty }
。另外注意，密度算子S都可对角化，即在某个正交基上可表为（可能是无限）矩阵，形式为
[
λ
1
0
⋯
0
⋯
0
λ
2
⋯
0
⋯
⋮
⋮
⋱
0
0
λ
n
⋮
⋮
⋱
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0&\cdots \\0&\lambda _{2}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&\lambda _{n}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}
我们定义
H
(
S
)
=
−
∑
i
λ
i
log
2
λ
i
.
{\displaystyle \operatorname {H} (S)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}.}
按惯例，
0
log
2
0
=
0
{\displaystyle \;0\log _{2}0=0}
，因为概率为零的事件对熵不应有贡献。这个值在扩展实数（即在[0, ∞]中），显然是S的酉不变量。
备注. 对某个密度算子S，
H
(
S
)
=
+
∞
{\displaystyle H(S)=+\infty }
确实是可能的。事实上T是对角矩阵
T
=
[
1
2
(
log
2
2
)
2
0
⋯
0
⋯
0
1
3
(
log
2
3
)
2
⋯
0
⋯
⋮
⋮
⋱
0
0
1
n
(
log
2
n
)
2
⋮
⋮
⋱
]
{\displaystyle T={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2(\log _{2}2)^{2}}}&0&\cdots &0&\cdots \\0&{\frac {1}{3(\log _{2}3)^{2}}}&\cdots &0&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\\0&0&&{\frac {1}{n(\log _{2}n)^{2}}}&\\\vdots &\vdots &&&\ddots \end{bmatrix}}}
T是非负迹类算子，可证明
T
log
2
T
{\displaystyle T\log _{2}T}
不是迹类算子。
定理. 熵是酉不变量。
与经典熵类似（注意定义的相似性），H(S)度量了态S的随机性。特征值越分散，系统熵就越大。对于空间H有限维的系统，态S具有下列对角形式的表示时，熵最大：
[
1
n
0
⋯
0
0
1
n
…
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&0&\cdots &0\\0&{\frac {1}{n}}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}}
对这样的S，
H
(
S
)
=
log
2
n
{\displaystyle H(S)=\log _{2}n}
。态S称作最大混合态。
纯态的形式是
S
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
,
{\displaystyle S=|\psi \rangle \langle \psi |,}
其中ψ是范数为1的向量。
定理. H(S) = 0，当且仅当S是纯态。
S是纯态，当且仅当其对角形式恰有1个非零项且为1。
熵可用作量子纠缠的度量。
吉布斯正则系综[编辑]
主条目：正则系综
考虑平均能量E的哈密顿量H描述的系统系综。若H具有纯点谱，且H的特征值
E
n
{\displaystyle E_{n}}
发散得够快，则对正数r，e−r H都是非负迹类算子。
吉布斯正则系综由以下态描述
S
=
e
−
β
H
Tr
(
e
−
β
H
)
.
{\displaystyle S={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}}.}
其中β使能量的系综平均满足
Tr
(
S
H
)
=
E
{\displaystyle \operatorname {Tr} (SH)=E}
且
Tr
(
e
−
β
H
)
=
∑
n
e
−
β
E
n
=
Z
(
β
)
{\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})=\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}=Z(\beta )}
这就是所谓偏函数，是经典统计力学的正则配分函数在量子力学中的推广。系综中随机选取的系统处于与能量特征值
E
m
{\displaystyle E_{m}}
对应的态的概率为
P
(
E
m
)
=
e
−
β
E
m
∑
n
e
−
β
E
n
.
{\displaystyle {\mathcal {P}}(E_{m})={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}}{\sum _{n}\mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}}}.}
特定条件下（且满足能量守恒），吉布斯正则系综最大化了冯诺依曼熵。
巨正则系综[编辑]
主条目：巨正则系综
粒子能量与数量可能波动的开放系统，由巨正则系综描述，其密度矩阵为
ρ
=
e
β
(
∑
i
μ
i
N
i
−
H
)
Tr
(
e
β
(
∑
i
μ
i
N
i
−
H
)
)
.
{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}}{\operatorname {Tr} \left(\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)}\right)}}.}
其中N1, N2, ...是与热库交换的不同种类粒子的粒子数算子。注意与正则系综相比，这个密度矩阵包含更多态（不同的N）。
巨配分函数为
Z
(
β
,
μ
1
,
μ
2
,
⋯
)
=
Tr
(
e
β
(
∑
i
μ
i
N
i
−
H
)
)
{\displaystyle {\mathcal {Z}}(\beta ,\mu _{1},\mu _{2},\cdots )=\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{\beta (\sum _{i}\mu _{i}N_{i}-H)})}
另见[编辑]
量子热力学
热量子场论
参考文献[编辑]
J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
F. Reif, Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, 1965.
查论编量子力学
入門
數學表述
歷史
背景
入門
歷史
量子力學時間軸（英语：Timeline of quantum mechanics）
经典力学
舊量子論
基本量子力學詞彙表（英语：Glossary of elementary quantum mechanics）
基礎
狄拉克符号
互补原理
密度矩陣
能级
基态
激发态
简并能级
零點能量
量子纏結
哈密顿算符
干涉
量子退相干
量子測量
量子非局部性（英语：Quantum nonlocality）
量子態
态叠加原理
量子穿隧效應
散射理論（英语：Scattering theory）
量子力學對稱性（英语：Symmetry in quantum mechanics）
不确定性原理
波函数
波函数坍缩
波粒二象性
量子跳躍（英语：Atomic electron transition）
量子位元
量子三位元
表述
量子力學的數學表述
海森堡繪景
相互作用繪景
矩陣力學
薛丁格繪景
路徑積分表述
相空间表述
方程
狄拉克方程式
克莱因-戈尔登方程
包立方程式
薛定谔方程
空間幾何
布洛赫球面
旋矢空間（英语：Gyrovector space）
詮釋
量子力學詮釋
量子貝葉斯詮釋（英语：Quantum Bayesianism）
一致性历史
哥本哈根詮釋
德布罗意-玻姆理论
系綜詮釋
隱變量理論
多世界诠释
客觀坍縮理論
量子邏輯（英语：Quantum logic）
關係性量子力學
隨機量子力學（英语：Stochastic quantum mechanics）
交易詮釋
宇宙学诠释
實驗
阿弗沙爾實驗
貝爾測試實驗（英语：Bell test experiments）
冷原子實驗室（英语：Cold Atom Laboratory）
戴維森-革末實驗
延遲選擇量子擦除實驗
雙縫實驗
法蘭克-赫茲實驗
萊格特 - 加爾格不等式（英语：Leggett–Garg inequality）
馬赫-曾德爾干涉儀
伊利澤-威德曼炸彈測試問題
波普尔实验
量子擦除實驗
薛定谔猫
施特恩-格拉赫实验
惠勒延迟选择实验
量子纳米科学（英语：Quantum nanoscience）
量子貝葉斯詮釋（英语：Quantum Bayesianism）
量子生物学
量子微積分（英语：Quantum calculus）
量子化学
量子混沌（英语：Quantum chaos）
量子認知（英语：Quantum cognition）
量子宇宙學
量子微分（英语：Quantum differential calculus）
量子動力學（英语：Quantum dynamics）
量子演化（英语：Quantum evolution）
量子幾何（英语：Quantum geometry）
量子群
測量問題（英语：Measurement problem）
量子概率（英语：Quantum probability）
量子隨機演算（英语：Quantum stochastic calculus）
量子時空（英语：Quantum spacetime）
量子技術
量子演算法
量子放大器（英语：Quantum amplifier）
量子總線（英语：Quantum bus）
量子点
量子細胞自動機（英语：Quantum cellular automaton）
量子有限自動機
量子通道（英语：Quantum channel）
量子線路
量子复杂性理论
量子计算机
量子計算時間軸（英语：Timeline of quantum computing）
量子密碼學
量子電子學
量子誤差校正（英语：Quantum error correction）
量子成像
量子圖像處理（英语：Quantum image processing）
量子信息
量子密鑰分發
量子邏輯（英语：Quantum logic）
量子閘
量子機（英语：Quantum machine）
量子機器學習
量子超材料（英语：Quantum metamaterial）
量子計量學（英语：Quantum metrology）
量子网络（英语：Quantum network）
量子神經網絡（英语：Quantum neural network）
量子光学
量子編程
量子傳感器（英语：Quantum sensor）
量子模拟器
量子隱形傳態
進階研究
量子統計力學
相對論之量子力學（英语：Relativistic quantum mechanics）
量子场论
量子場理論史（英语：History of quantum field theory）
量子引力
分數量子力學（英语：Fractional quantum mechanics）
物理學者
普朗克
玻尔
埃倫費斯特
海森堡
薛丁格
德布羅意
玻恩
愛因斯坦
艾弗雷特
索末菲
馮诺伊曼
費曼
狄拉克
泡利
維恩
玻姆
貝爾
蔡林格
分类
物理学主题
维基共享
查论编统计力学主題系综
微正则系综
正则系综
巨正则系综
等温等压系综
Isoenthalpic–isobaric（英语：Isoenthalpic–isobaric ensemble）
Open（英语：Open statistical ensemble）
統計熱力學
特性函数
配分函数
平动
振动
转动
状态方程
狄特里奇物态方程
范德華方程
理想气体状态方程
Birch–Murnaghan（英语：Birch–Murnaghan equation of state）
熵
Sackur–Tetrode equation（英语：Sackur–Tetrode equation）
Tsallis entropy（英语：Tsallis entropy）
Von Neumann entropy（英语：Von Neumann entropy）
近独立粒子
麦克斯韦-玻尔兹曼统计
费米–狄拉克统计
費米–狄拉克分配
玻色-爱因斯坦统计
玻色-愛因斯坦分配
统计场论
共形場論
Osterwalder–Schrader axioms（英语：Osterwalder–Schrader axioms）
量子统计力学
正则系综
密度矩陣
Gibbs measure（英语：Gibbs measure）
配分函数
Weyl quantization（英语：Weyl quantization）
斯莱特行列式
參見
概率分布
基本粒子
规范控制数据库：各地
德国
以色列
美国
日本